Sannsynlighetsdensitet

Sannsynlighetsdensitet, ofte kalt sannsynlighetsfordelingsdensitet eller PDF (probability density function), er en funksjon f som beskriver sannsynligheten per enhetsverdi for en kontinuerlig tilfeldig variabel X. For enhver måleområde A gjelder P(X ∈ A) = ∫A f(x) dx. Densiteten er ikke-negativ, og hele området har total sannsynlighet 1, altså ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Densiteten gir sannsynlighet per enhet, og har derfor enhet i takt med variabelen.

Egenskaper og tilknyttede begreper: For en kontinuerlig variabel er f(x) ≥ 0 og integrasjonen over hele støtteområdet gir 1. Den kumulative fordelingsfunksjonen F(x) = P(X ≤ x) kan fås som F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt. Ved en monotonone transformasjon Y = g(X) følger enhetlig transformasjonsregel: f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) |d/dy g^{-1}(y)|.

Eksempler: Standardnormalfordelingen har f(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}. Uniform for X ∈ [a, b] har f(x) = 1/(b−a) i intervallet [a, b] og 0 ellers. Enhets- eller eksponentielle fordeler er andre vanlige tilfeller, f(x) = λ e^{−λ x} for x ≥ 0.

Anvendelse: Forventning og varians kan beregnes som E[X] = ∫ x f(x) dx og E[g(X)] = ∫ g(x) f(x) dx, når disse integrale er konvergerende. Densiteter generaliseres til flerdimensjonale tilfeller som joint densities f(x1, ..., xn) med ∫ f = 1. Sannsynlighetsdensitet er definert for kontinuerlige variabler, mens diskrete variabler bruker en sannsynlighetsmassefunksjon.