Rückkehrwahrscheinlichkeiten

Rückkehrwahrscheinlichkeiten bezeichnen in der Stochastik die Wahrscheinlichkeit, mit der ein stochastischer Prozess zu einem bestimmten Zustand zurückkehrt, nachdem er von diesem gestartet wurde. Oft wird zwischen der ersten Rückkehrzeit und der Gesamtwahrscheinlichkeit, jemals zurückzukehren, unterschieden.

Gegeben sei ein Prozess (X_n) mit X_0 = i. Die erste Rückkehrzeit T_i = min{n ≥ 1 : X_n = i} misst, nach wie vielen Schritten der Zustand i erneut erreicht wird. Die Verteilung der ersten Rückkehr wird durch f_i(n) = P_i(T_i = n) beschrieben. Die Rückkehrwahrscheinlichkeit p_i = P_i(T_i < ∞) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand i jemals wieder besucht wird, also p_i = ∑_{n≥1} f_i(n).

Ein Zustand ist rekursiv (recurrent), wenn p_i = 1; transient, wenn p_i < 1. Unter rekursiven Zuständen unterscheidet man weiter in positiv rekursiv (erwartete Rückkehrzeit E_i[T_i] < ∞) und nullrekursiv (E_i[T_i] = ∞). In endlichen Markovketten sind alle Zustände positiv rekursiv.

In einfachen grafischen Zufallsprozessen hängt die Rückkehrwahrscheinlichkeit von der zugrunde liegenden Struktur ab. So ist der einfache symmetrische Random Walk auf dem eindimensionalen Gitter Z rekursiv, ebenso in zwei Dimensionen; in drei Dimensionen ist er transiente Rückkehrwahrscheinlichkeit liegt unter 1.

Zur Analyse verwendet man oft Green-Funktionen G(i,i) = ∑_{n≥0} P^n(i,i), Generating Functions oder spektrale Methoden. Die Divergenz oder Konvergenz von G(i,i) charakterisiert Rekurrenz und bildet eine zentrale Orientierung in der Theorie der Rückkehrwahrscheinlichkeiten.

Anwendungen finden sich in der Modellierung von Netzwerkrouten, in der Quantenstatistik, der Populations- und Ökonomie-Simulation sowie in der theoretischen Physik.