Ryhmäominaisuudet

Ryhmäominaisuudet ovat perusominaisuuksia, joilla määritellään matemaattinen ryhmä. Ryhmä koostuu joukosta G ja binäärisestä operaatiosta *, jolla on neljä keskeistä ominaisuutta: sulkevuus, assosiatiivisuus, identiteetti ja käänteinen alkio jokaiselle alkiolle.

Sulkevuus tarkoittaa, että jokainen a,b ∈ G toteuttaa a*b ∈ G. Assosiatiivisuus tarkoittaa, että (a*b)*c = a*(b*c) kaikille a,b,c ∈ G. Identiteetti e ∈ G on alkio, jolle a*e = e*a = a kaikille a ∈ G. Jokaiselle a ∈ G on olemassa a^{-1} ∈ G sellainen, että a*a^{-1} = a^{-1}*a = e.

Ryhmäominaisuuksien lisäksi ryhmä voidaan luokitella abelianiksi eli kommutatiiviseksi, jos ab = ba kaikille a,b ∈ G. Ryhmän koko sanotaan sen järjestykseksi; ryhmä voi olla äärellinen tai äärettömän suuri. Äärellisessä ryhmässä Lagrangen lause antaa, että jokaisen aliryhmän järjestys jakaa koko ryhmän järjestyksen.

Aliryhmät ovat alijoukkoja, jotka muodostavat oman ryhmän samoilla ominaisuuksilla. Jos N on normaalialiryhmä, muodostaa G/N kertaryhmän. Homomorfismit ovat karttoja, jotka säilyttävät operaation; niiden ydin ja kuva kertovat, miten ryhmät liittyvät toisiinsa. Isomorfismit osoittavat ryhmien rakenteellisen yhteneväisyyden, ja automorfiot kuvastavat ryhmän sisäisiä symmetrioita.

Esimerkkejä: (Z, +) on äärettömän suuri kertaryhmä; (Z_n, +) on lopullinen kertaryhmä; S_n on kaikkien alkioiden permutaatioryhmä, ja D_n on n-gon symmetrioita kuvaava dihedraalinen ryhmä.