Rotationsmatrisen

Rotationsmatrisen är en kvadratisk matris som beskriver en rotation av vektorer i det euklidiska rummet. Den bevarar längder och vinklar, vilket gör att den är orthogonal med determinant lika med 1. En rotationsmatris R uppfyller R^T R = I och R^−1 = R^T. Tillsammans utgör dessa matriser gruppen SO(n), den speciella orthogonala gruppen i n dimensioner.

I två dimensioner ges rotationen av R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]], som roterar punkter kring origo i motsols riktning med vinkeln θ. I tre dimensioner utförs rotationer kring en given enhetsaxel k med vinkeln θ. Ett vanligt sätt att uttrycka sådana rotationer är Rodrigues formel: R = I + sin θ K + (1 − cos θ) K^2, där K är korsproduktionsmatrisen av enhetsvektorn k. K är exempelvis uppbyggd som K = [[0, −k_z, k_y], [k_z, 0, −k_x], [−k_y, k_x, 0]].

Generellt kan varje 3D-rotation beskrivas av Euler- eller axis–angle-konventioner; R kan skrivas som en produkt av tre enkla rotationer, t.ex. R = R_z(γ) R_y(β) R_x(α), beroende på konvention. Olika val av konventioner ger olika matriser och kan leda till problem som gimbal lock.

Användningar av rotationsmatriser finns inom datorgrafik, robotik, rymd- och fysikberäkningar samt 3D-modellering och bildbehandling. De ger ett heltaligt, differentiellt och numeriskt stabilt sätt att hantera orientering och transformering av objekt i rumslig data.