Rotationsapplikation

Rotationsapplikation, in der Geometrie oft auch Rotationsabbildung oder Rotationsoperator genannt, beschreibt eine Transformation, die alle Punkte eines euklidischen Raums um eine festgelegte Achse bzw. um einen festen Punkt mit einem bestimmten Winkel dreht. In der Ebene R^2 erfolgt die Rotation typischerweise um den Ursprung, in drei Dimensionen um eine Achse, die durch einen Einheitsvektor u definiert ist.

Für R^2 gilt die Rotation R_theta(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). In R^3 lässt sich eine Rotation mit der Achse u und dem Winkel θ über die Rodrigues-Formel ausdrücken: v_rot = v cos θ + (u × v) sin θ + u(u · v)(1 − cos θ). Rotationen werden auch durch Matrizen dargestellt, als Elemente der Gruppe SO(2) bzw. SO(3). Allgemein lassen sich Rotationen in n Dimensionen durch Matrizen A ∈ SO(n) darstellen, die A^T A = I und det(A) = +1 erfüllen.

Eigenschaften dieser Abbildungen sind Isometrie (Länge und Abstände bleiben erhalten), Orientierungserhaltung und Bijektivität. Rotationen um einen anderen Punkt p erfolgen durch x' = p + R(x − p). In drei Dimensionen ist die Reihenfolge von Rotationen wichtig, da sich Rotationen im Allgemeinen nicht kommutieren. Die Gruppe der Rotationen bildet eine Lie-Gruppe, SO(n).

Repräsentationen und Interpolation umfassen Euler-Winkel, Achsen-Winkel (Rotation um eine Achse), Quaternionen und Rotationsmatrizen. Zur sanften Abfolge zwischen Rotationen wird häufig Slerp (sphärische lineare Interpolation) verwendet.

Anwendungen finden sich in der Computergrafik, Robotik, Computer Vision, Geoinformationssystemen und Physiksimulationen. Einschränkungen umfassen Gimbal-Lock bei Euler-Winkeln und numerische Stabilitätsfragen bei der Repräsentation mehrerer Rotationen.

Siehe auch: Rotationsmatrix, Quaternion, SO(3), Eulerwinkel, Achsenwinkel.