Ringteoriassa

Ringteoriassa tutkitaan rengasrakenteita, algebrallisia järjestelmiä, joissa on kaksi binääristä operaatiota: lisäys ja kertolasku. R on rengas, jos (R, +) on abelian ryhmä ja (R, ·) on assosiatiivinen monoid sekä toteuttaa jakelulait: a·(b+c) = a·b + a·c ja (a+b)·c = a·c + b·c. Monet määritelmät vaativat lisäksi, että rengas sisältää kertolaskulle identiteetin (1 ≠ 0); tällaisia sanotaan unital-rengasuiksi.

Esimerkkejä rengasrakenteista ovat Z, polynomirengas R[x] sekä matriisirengas M_n(R). Z on klassinen esimerkki, jossa lisäys ja kertolasku ovat tavalliset; R[x] muodostaa polynomirengaan polynomien kanssa; M_n(R) on yleisesti ei-commutatiivinen rengas.

Keskeisiä rakenteita ovat idealit. Ideali I on alijoukko R, joka on sekä lisäyksen että kertolaskun suhteen suljettu: I + I ⊆ I ja rI ⊆ I sekä Ir ⊆ I. Ideaalista muodostettu kertorengas R/I on luonnollinen esimerkki toisesta rengasrakenteesta. R-homomorfismi f: R → S säilyttää sekä + että ·; sen kernel ja kuva sitovat kertomaisiin tuloksiin, esimerkiksi R/ker f ≅ im f (jatkoisissa isomorfisuuslauseissa).

Erikoistapaukset ja luokat: integral domain on rengas, jolla ei ole nollien jakajia (ab 0 ⇒ a=0 tai b=0). Field on rengas, jossa jokainen ei-nolla elementti on käänteinen. Muita tärkeitä luokkia ovat PID (priinomaiset idealit), Noetherian- ja Artinian-rengasrakenteet sekä lokalisointi ja laajennukset.

Sovellukset kattavat algebran lisäksi number theoryyn, algebraiseen geometriaan, representaatioteoriaan sekä koodaus- ja kryptografiateollisuuteen.