isomorfisuuslauseissa

Isomorfisuuslauseet ovat peruslauseita algebran alueelta, jotka kuvaavat yhteyden rakenteen ja sen kuvien sekä kuorien välillä homomorfismien kontekstissa. Ne pätevät monissa algebran rakenteissa, kuten ryhmississä, renkaissa, moduuleissa ja vectoraalitilanteissa, ja niiden perusidea on että jokainen homomorfismi välittömästi tiivistää rakenteen kerroksen ja kuvan kautta.

Ensimmäinen isomorfisuuslause: Olkoon f: G → H ryhmähomomorfismi. Tällöin G/ker f on isomorfinen im f:iin. Käytännössä ker f on normaalialijainen G:ssa ja im f on H:n aliryhmä.

Toinen isomorfisuuslause: Olkoon A ja B ryhmän G aliryhmät, joista B on normaalinen G:ssa (tai ainakin AB:n tapauksissa). Silloin AB on aliryhmä, B on normaalinen AB:ssa, ja A/(A ∩ B) ≅ AB/B. Tämä lause antaa kuoren ja jaon roolien välisen yhteyden kahden aliryhmän välillä.

Kolmas isomorfisuuslause: Olkoon B ≤ C ≤ G ja B normaalinen C:ssä. Tällöin C/B on normalisoitu G/B:ssä ja (G/B)/(C/B) ≅ G/C. Tämä lause kuvaa, miten kertominen useamman kerroksen kautta toimii. Modulien ja renkaiden kontekstissa vastaavat isomorfisuuslauseet pätevät, joissa kerroin- ja kuorimääritelmiä sovelletaan homomorfismeille.

Käytännössä isomorfisuuslauseet ovat työkalupakki, jolla voidaan todistaa rakenteiden kuvauksia, luokitella homomorfis- kuvia ja tiivistää monimutkaisia rakenteita pienempiin osiin.

Lisäksi lauseet syntyperäisesti liittyvät kuviin, kantoihin ja normaalisuuksiin sekä tarjoavat yleisratkaisut erityistilanteisiin ryhmississä, renkaissa ja moduuleissa.