Ringhomomorfisme

Ringhomomorfisme is een kaart f: R → S tussen ringen R en S die twee bewerkingen behoudt: voor alle a, b in R geldt f(a+b)=f(a)+f(b) en f(ab)=f(a)f(b). Als bovendien ook f(1_R)=1_S, dan noemt men het een unital ringhomomorfisme.

Direct gevolg is dat f(0)=0 en f(-a)=-f(a) voor alle a in R, zodat f ook de additieve inverses respecteert.

Het kernel van f, ker f = {r in R | f(r)=0}, is een ideaal van R. Het beeld im f = {f(r) | r in R} is een onderring van S. Door het Eerste Isomorfie Theorema is er een isomorfie R/ker f ≅ im f.

Voorbeelden: de inclusie Z → Q is een ringhomomorfisme; de natuurlijke projectie Z → Z/nZ is een surjectieve ringhomomorfisme. De nulmap f(r)=0 is een ringhomomorfisme als men niet vereist dat 1_R wordt afgebeeld op 1_S.

Eigenschappen: f is injectief als ker f = {0}; f is surjectief als im f = S. In de categorie van ringen komen monomorfen overeen met injectieve morfismen, en epimorfen met surjectieve morfismen.