Riemanniansk

Riemanniansk avser geometrin som bygger på en Riemanniansk metrisk struktur. Begreppet används framför allt inom Riemanniansk geometri för att studera glatta mångfalder där varje tangentrum tillsätts en inre produkt som varierar smidigt med platsen i mångfalden. En sådan metrisk struktur, ofta betecknad g_p, är en glatt varierande, positivt definierad bilineär form på varje tangentrum T_pM. Den gör det möjligt att beräkna längder av kurvor, vinklar mellan vektorer och avstånd mellan punkter via längden L(γ) = ∫ sqrt(g_{γ(t)}(γ'(t), γ'(t))) dt och avståndet d(x,y) = inf L(γ) över kurvor från x till y.

Med en Riemanniansk metrisk struktur finns en unik koppling ∇ som är torsionsfri och metrik, det vill säga ∇g = 0. Denna Levi-Civita-koppling definierar paralleltransport och ger geodesiker, kurvor γ där ∇_{γ'} γ' = 0; geodesikerna är lokala minimala eller extremala avståndskurvor.

Många egenskaper av en Riemanniansk mångfald mäts i termer av dess krökning. Riemann-kurvaturen tensor R beskriver hur mångfalden avviker från att vara platt. Särskilda mått är skiktningscurvature (sektionell krökning) K(σ), Ricci-krökning Ric och scalar curvature Scal. Dessa mått har konsekvenser för geometri, topologi och analys.

Exempel: det euklidiska rummet R^n med standardmetrik är platt; sfären S^n med dess vanliga metrisk har konstant positiv sektionell krökning, medan det hyperboliska rummet H^n har konstant negativ sådan.

Riemanniansk geometri används inom matematik och fysik och skiljer sig från pseudo-Riemannsk geometri, där metricen inte är positivt definierad och som är central i relativitetsteorin.