Repräsentationsraum

Repräsentationsraum, in der Mathematik, bezeichnet den Raum der Darstellungen einer gegebenen algebraischen Struktur (zum Beispiel einer Gruppe oder einer algebraischen Algebra) auf einer festen endlich-dimensionalen Vektor space. Typischerweise erhält man ihn als algebraische Varietät oder als Scheme, dessen Punkte genau die gewünschten Darstellungen entsprechen.

Ein wichtiger Fall ist die Darstellung einer finitely präsentierten Gruppe G. Wähle eine Dimension n und betrachten Rep_n(G) = Hom(G, GL_n(C)). Diese Menge lässt sich als Untervariante von GL_n(C)^m darstellen, wobei m die Anzahl der Generatoren von G ist, und wird durch die Relationen von G durch Polynomgleichungen festgelegt. Ebenso definiert man Rep_n(A) für eine finitely präsentierte endliche-dimensionalen Algebra A als Hom_A(A, M_n(C)). In beiden Fällen trägt Rep_n(...) eine natürliche Struktur als affiner varieties, oft mit einer zusätzlichen Gruppenaktion.

Die Gruppe GL_n(C) wirkt durch Konjugation auf Rep_n(G). Der Quotient unter dieser Aktion liefert Moduli-Räume der Darstellungen, bekannt als Charaktervarietäten X_n(G) = Rep_n(G) // GL_n(C). Diese Räume klassifizieren Darstellungen bis Äquivalenz (bis Konjugation). Irreducible Darstellungen entsprechen stabilen Punkten im Sinne der Geometrischen invariant theory.

Zusätzliche Strukturen treten durch Deformationstheorie zutage. Der Tangentenraum einer Darstellung rho an Rep_n(G) ist typischerweise gegeben durch die Gruppenkohomologie H^1(G, ad rho). Repräsentationsräume finden Anwendungen in Geometrie und Topologie, etwa bei der Untersuchung der Fundamentalgruppen von Mannigfaltigkeiten, Moduli von flachen Verbindungen und der Struktur von Charakterräumen.

Der Begriff kann allgemein verwendet werden, um jeden Parameterraum von Darstellungen einer festen Struktur zu bezeichnen, bleibt aber in der Praxis oft an die deterministische Wahl von G, A und Dimension n gebunden.