Renewalprosesser

Renewalprosesser er en klasse av stokastiske prosesser som modellerer tidspunktet for hendelser som skjer ved fornyelse. I en typisk modell antas mellomrommene mellom påfølgende hendelser, interarrival-tider, å være uavhengige og identisk fordelt. Prosessen fanger situasjoner der et system eller en enhet må vedlikeholdes eller fornyes etter en tilfeldig tidsperiode, for eksempel maskinreparasjoner, kundemøter, eller leveringssykluser.

Formell konstruksjon: La X1, X2, X3, … være uavhengige og identisk fordelte positive stokastiske variabler som representerer interarrival-tidene. Definer S0 = 0 og S_n = X1 + ... + X_n som fornyelsestidpunkter. Antall fornyelegger som har skjedd opp til tid t er N(t) = max{n ≥ 0: S_n ≤ t}. N(t) teller hendelsene mellom tidene S_n og beskriver hvor ofte systemet trenger fornyelse innenfor tidsrammen t.

Viktige ligninger og størrelser: Den forventede tellefunksjonen m(t) = E[N(t)] kalles renewalfunksjonen. Den oppfyller en renewal-ligning: m(t) = F(t) + ∫_0^t m(t − x) dF(x), der F er fordelingsfunksjonen til X1. En alternativ representasjon er N(t) = ∑_{n≥1} 1_{S_n ≤ t}.

Hovedresultater: Hvis E[X1] = μ < ∞, så N(t)/t → 1/μ almost surely, og m(t)/t → 1/μ når t → ∞ for ikke-lattice fordelinger (lattice-fordelinger har periodiske grenseverdier). Det finnes også nøkkelforskningsresultater som nøkkelledetrømmingen (key renewal theorem) som gir grenseoppførsel for konvolutte funksjoner.

Variant og anvendelser: Det finnes forsinkede og stationære varianten av renewalprosesser. Anvendelser finnes i reliabilitet og vedlikehold, lagerstyring, køteori og telekommunikasjon, hvor man evaluerer forventet antall fornyelser eller foreslåtte vedlikeholdsplaner basert på tidsintervaller mellom hendelser.