Rekonstruktionsprobleme

Rekonstruktionsprobleme bezeichnen in der Mathematik und in den Anwendungswissenschaften Probleme, bei denen ein unbekanntes Objekt oder Signal aus indirekten oder unvollständigen Messungen wiederhergestellt werden soll. Typisch wird ein Forward-Modell F eingeführt, das das unbekannte Objekt x auf beobachtbare Daten y abbildet: y = F(x) + noise. Das Ziel ist, aus y eine plausible Rekonstruktion von x zu gewinnen. Rekonstruktionsprobleme gehören oft zur Klasse der Inverse Probleme und weisen häufig eine schlechte Stabilität auf, weshalb sie als ill-posed nach Hadamard gelten, insbesondere wenn Existenz, Eindeutigkeit oder Stabilität der Lösung fehlen.

Typische Merkmale sind verrauschte Messungen, unvollständige Abtastung, Verzerrungen oder unbekannte Modellparameter. Um dennoch sinnvolle Ergebnisse zu erhalten, werden Regularisierung und der Einsatz zusätzlicher Informationen oder Beschränkungen genutzt, um die Lösung zu stabilisieren. Zu gebräuchlichen Regularisierungsmethoden gehören Tikhonov-Verfahren, L2- oder L1-Regularisierung, Total-Variation, sowie sparsity-gestützte Ansätze. In vielen Fällen werden Bayesianische Ansätze oder Vorannahmen über Struktur des Objekts eingesetzt. Numerische Lösungsverfahren umfassen direkte Lösungsverfahren für lineare Modelle (z. B. SVD-Trunkation) und iterative Methoden (Landweber, konjugierte Gradient, Projektionstechniken).

Anwendungen finden sich in der medizinischen Bildgebung (CT, MRT, PET), Tomographie, Geophysik (Seismik), Materialprüfung, Astronomie und Audiovisueller Verarbeitung. Theoretisch wird in der Regel nach Identifizierbarkeit, Eindeutigkeit und Stabilität der Rekonstruktion gefragt; der Forward-Operator, seine Invertierbarkeit und die Auswirkungen von Rauschen bestimmen oft die erreichbare Qualität. Die Forschung verbindet Analysis, Numerik und Anwendungen, um robuste Rekonstruktionen zu ermöglichen.