Regressionsflächen

Regressionsflächen sind grafische Darstellungen der bedingten Erwartung eines abhängigen Merkmals Y in Abhängigkeit von einer oder mehreren Prädiktoren X1, X2, …, Xk. Die Fläche ergibt sich aus der Regressionsfunktion m(x1, x2, …, xk) = E[Y | X1 = x1, X2 = x2, …, Xk = xk] und besteht aus allen Punkten (x1, x2, …, xk, m(x1, x2, …, xk)) im mehrdimensionalen Raum. Für zwei Prädiktoren X und Z wird die Regressionfunktion zu einer Oberfläche z = m(x, z); ihr Graph ist die Reg regressionsfläche. Ist m linear, entsteht eine Ebene; komplexere Modelle liefern gekrümmte oder geglättete Flächen.

In der Statistik und Ökonometrie wird oft eine lineare Regression mit mehreren Variablen verwendet, bei der z = β0 + β1 x + β2 y die Regessionsfläche als Ebene darstellt. Bei Nichtlinearität oder nichtparametrischen Ansätzen ergeben sich polymere Flächen, Splines oder Glättungsflächen, die die Form der bedingten Erwartung besser abbilden können.

Schätzung und Interpretation: Aus Stichprobendaten (Yi, Xi) wird die Fläche durch Verfahren wie die kleinste Quadrate-Schätzung f_hat(x, y) bestimmt. Die Abweichungen der Beobachtungen von der Fläche, d.h. Residuen Yi − f_hat(xi, yi), dienen der Beurteilung der Modellpassung. Regressionsflächen ermöglichen Vorhersagen und visuelle Einsicht in komplexe Zusammenhänge, liefern aber nur die bedingte Mittelwertfunktion und keine Aussagen über Varianz oder Verteilung der Residuen.

Siehe auch: Regressionsmodell, Regressionslinie, Glättungsverfahren wie LOESS oder GAMs.