Rationaaliyhtälöitä

Rationaaliyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy ainakin yhden lausekkeen nimittäjässä. Rationaaliyhtälön yleinen muoto on sellainen, että yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa P(x)/Q(x) = 0, missä P(x) ja Q(x) ovat polynomeja ja Q(x) ei ole nollapolynomi. Rationaaliyhtälön ratkaisemiseksi on tärkeää määrittää ensin yhtälön määrittelyjoukko, eli ne x:n arvot, joilla nimittäjä Q(x) ei ole nolla. Muuten ratkaisut eivät ole päteviä.

Rationaaliyhtälön ratkaiseminen aloitetaan usein kertomalla koko yhtälö nimittäjän tai nimittäjien pienimmällä yhteisellä nimittäjällä. Tämä poistaa murtolausekkeet ja muuttaa yhtälön polynomiyhtälöksi. Tämän jälkeen ratkaistaan syntynyt polynomiyhtälö tavallisin menetelmin. Lopuksi on tarkistettava, että saadut ratkaisut kuuluvat yhtälön määrittelyjoukkoon. Jos jokin ratkaisu tekee nimittäjästä nollan, se on hylättävä vierasratkaisuna.

Esimerkiksi yhtälö (x^2 - 4)/(x - 2) = 3 ratkaistaisiin ensin määrittämällä, että x ei saa olla 2. Sitten kerrottaisiin molemmat puolet (x-2):lla: x^2 - 4 = 3(x - 2). Tästä saadaan x^2 - 4 = 3x - 6, ja edelleen x^2 - 3x + 2 = 0. Tämän toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat x = 1 ja x = 2. Koska x ei saa olla 2, ainoa kelvollinen ratkaisu on x = 1. Rationaaliyhtälöiden ratkaiseminen on keskeinen taito algebrassa ja sitä käytetään monissa matemaattisissa sovelluksissa.

---