Rationaaliyhtälöiden

Rationaaliyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy ainakin yhden lausekkeen nimittäjässä. Yleisessä muodossaan rationaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa P(x) / Q(x) = 0, missä P(x) ja Q(x) ovat polynomeja.

Rationaaliyhtälön ratkaisemisessa on tärkeää tunnistaa ne arvot, jotka tekevät nimittäjästä nollan. Nämä arvot eivät saa olla yhtälön ratkaisuja, koska jakaminen nollalla ei ole määritelty. Tällaisia arvoja kutsutaan häviäviksi tai kielletyiksi juuriksi.

Rationaaliyhtälö ratkaistaan tyypillisesti kertomalla molemmat puolet yhtälöstä nimittäjänä olevan lausekkeen yhteisellä nimittäjällä. Tämä poistaa nimittäjät ja muuttaa rationaaliyhtälön polynomiyhtälöksi, joka on helpompi ratkaista. Kun polynomiyhtälö on ratkaistu, on tarkistettava, etteivät saadut ratkaisut ole kiellettyjä juuria. Jos jokin ratkaisu on kielletty juuri, se on hylättävä.

Esimerkiksi yhtälö (x + 1) / (x - 2) = 0 ratkaistaan asettamalla osoittaja nollaksi, eli x + 1 = 0. Tällöin saadaan ratkaisuksi x = -1. On tarkistettava, ettei x = -1 tee nimittäjästä nollaa. Koska x - 2 = -1 - 2 = -3 ≠ 0, ratkaisu on kelvollinen. Yhtälön ratkaisu on siis x = -1. Toinen esimerkki: 1 / x = 1 / (x - 1). Tässä tapauksessa nimittäjä ei saa olla nolla, joten x ≠ 0 ja x ≠ 1. Kerrotaan molemmat puolet x(x - 1):llä, saadaan x - 1 = x. Tästä saadaan -1 = 0, mikä on epätosi. Tällä yhtälöllä ei siis ole ratkaisuja.