Randumfang

Randumfang bezeichnet die Größe der Randlinie eines geometrischen Objekts oder einer Menge. In der zweidimensionalen Ebene entspricht der Randumfang dem bekannten Umfang eines Planskiz, also der Länge der Randkurve. In höheren Dimensionen wird der Randumfang durch das (n-1)-dimensionale Maß der Randmenge beschrieben, beispielsweise die Oberfläche eines dreidimensionalen Körpers.

Berechnungen lassen sich leicht illustrieren: Für einen Kreis mit Radius r beträgt der Randumfang 2πr. Für ein Rechteck mit Seitenlängen a und b ist er 2(a+b). Allgemein gilt, dass der Randumfang eines Polygonzugs die Summe der Längen seiner Kanten bildet. In Fällen mit glatten Grenzen lässt sich der Randumfang durch das Kurvenlängenintegral entlang der Randkurve bestimmen.

Der Randumfang hängt stark von der Struktur der Randgrenze ab. Glatte, regelmäßige Grenzen besitzen endliche Randumfang, während komplexere oder fraktale Grenzen wie die Kochsche Schneeflocke einen unendlichen Randumfang bei endlicher Fläche aufweisen können. Solche Beispiele zeigen, dass der Randumfang von der Feinheit der Grenze abhängt und in der geometrischen Maßtheorie eine wichtige Rolle spielt.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Analytischer Geometrie, Massentheorie und der Isoperimetrie, wo Randumfang und Fläche in Verbindung stehen. Begriffe wie Rand, Umfang, Randmaß und Hausdorff-Maß werden in diesem Zusammenhang gerne miteinander verwendet, um verschiedene Präzisionsebenen der Randgröße zu beschreiben.

Siehe auch: Umfang, Rand, Fläche, Oberfläche, Hausdorff-Maß, Isoperimetrische Ungleichung.