HausdorffMaß

Hausdorffmaß, auch als Hausdorff-Maß bezeichnet, ist eine Familie von Maßen, die in der Metrik- und Geometrischen Maßtheorie verwendet wird, um Mengen in allgemeinen Metrikräumen zu quantifizieren. Für einen Normraum X und eine Nichtnegative Zahl s ≥ 0 wird die s-dimensionale Hausdorffmaß H^s(E) einer Menge E ⊆ X durch eine Carathéodory-Konstruktion definiert: H^s(E) ist der Grenzwert eines Infimums der Summen von (Durchmessern)^s über Überdeckungen von E durch Mengen U_i mit schmalen Durchmessern. Formaler wird H^s(E) als äußeres Maß definiert, das E möglichst fein umrundet und dabei die Größe der Überdeckung nach der Potenz s gewichtet.

Eigenschaften und Beziehungen: H^s ist eine äußere Maßfunktion, vollständig und wird durch Verschiebung und Skalierung invariabel. In einem euklidischen Raum R^n gilt, dass H^n (mit der üblichen Normalisierung) dem Lebesgue-Maß entspricht (H^n ist eine konstante Vielfache des Lebesgue-Maßes; unter der üblichen Konvention kann man sagen, es stimmt überein). H^s für andere Werte von s liefert unterschiedliche Maßverhalten: Für s > t kann H^s(E) kleiner oder sogar Null sein, während H^s(E) für zu kleine s oft unendlich wird. Die Hausdorffdimension dim_H(E) eines E wird definiert als der kritische Wert, bei dem H^s(E) von unendlich zu null wechselt; formal gilt dim_H(E) = inf{ s ≥ 0 : H^s(E) = 0 } = sup{ s ≥ 0 : H^s(E) = ∞ }.

Beispiele und Anwendungen: Für eine glatte k-dimensionale Untermanigfaltigkeit in R^n ist H^s die übliche k-dimensionale Maßgröße, während H^s(F) = 0 für s > k und H^s(F) = ∞ für s < k. Fraktale Mengen können nicht durch eine ganzzahlige Dimension beschrieben werden, sondern haben eine nicht ganzzahlige Hausdorffdimension, wobei H^d(F) oft positive und endliche Werte annimmt. Anwendungen finden sich in der Geometrischen Maßtheorie, der Fraktalgeometrie und der Analysis.