Rahmengeometrien

Rahmengeometrien sind eine Klasse geometrischer Strukturen in der Geometrie, die auf dem Konzept eines Rahmens als Referenzkonfiguration basiert. Ein Rahmen ist eine festgelegte kleine Anordnung von Objekten (etwa Punkte, Linien oder Ebenen), von der aus die übrigen Objekte der Geometrie beschrieben oder rekonstruiert werden können.

Eine Rahmengeometrie besteht aus einer Inzidenzstruktur, ergänzt durch eine Familie von Rahmenelementen. Die Rahmenelemente dienen als Referenz: An ihnen lässt sich lokal eine Koordinations- oder Ordnungsvorschrift ableiten, mit der Abstände, Richtungen oder Relationen zwischen Objekten definiert werden können. Formalaxiome unterscheiden sich je nach Autor, zielt man jedoch darauf ab, dass jeder gültige Rahmen eine kohärente Koordinatisierung ermöglicht und dass die Gesamtheit der Objekte aus der Kombination der Rahmenelemente generiert werden kann.

Rahmengeometrien stehen in Beziehung zu projektiven, affinen und metrikgeometrischen Strukturen. Durch Koordinatisierung mittels Rahmenelementen lassen sich klassische Geometrien rekonstruieren oder verallgemeinern. In der endlichen Geometrie erscheinen Rahmenelemente als minimale Referenzkonfigurationen, die die Struktur eindeutig festlegen; in der linearen Algebra entspricht ein Rahmen oft einer Referenzbasis eines Vektorraums.

Anwendungsbereiche finden sich in der Deskriptiven Geometrie, Computergraphik, Robotik und architektonischen Planungen sowie in der theoretischen Geometrie, wo Rahmenmethoden helfen, Geometrien zu abstrahieren und zu koordinatisieren.