Radialbasisfunktionen

Radialbasisfunktionen (RBF) sind eine Klasse von Funktionen, die in der multivariaten Interpolation, Regression und im maschinellen Lernen verwendet werden. Eine RBF phi wird durch ihren Radius r = ||x − c|| bestimmt, wobei c ein Zentrum und x der Punkt im Eingaberaum ist. In einem einfachen Modell ergibt sich die Zielgröße y(x) als Summe gewichteter Basisfunktionen: y(x) = Σ_{i=1}^N w_i φ(||x − c_i||) + b, wobei c_i die Zentren, w_i die Gewichte und b eine optionale Bias-Konstante ist.

Zu den häufigsten Basisfunktionen gehören die Gaußsche RBF φ(r) = exp(−(ε r)^2), die Multiquadric φ(r) = sqrt(r^2 + c^2), die inverse Multiquadric φ(r) = 1 / sqrt(r^2 + c^2) sowie die Thin-Plate-Spline φ(r) = r^2 log r (für r > 0). Weitere Varianten mit kompakter Unterstützung ermöglichen lokale Effekte. Die Wahl der Funktion beeinflusst die Glättung, Stabilität und Konvergenz des Modells.

Eigenschaften: RBFs sind rotationsinvariant, da sie nur von der Entfernung abhängen. Je nach Kernwahl kann der Einfluss einer Zentrenkomponente global oder lokal sein. Die Gaußsche RBF ist in vielen Kontexten strikt positiv definit und eignet sich gut für stabile Interpolation; andere Funktionen können bedingt positive Definitheit besitzen, was die mathematische Behandlung beeinflusst. Mit ausreichenden Zentren und geeigneten Gewichten besitzen RBF-Netze unter milden Voraussetzungen die universelle Näherungseigenschaft.

Schulung und Anwendung: Zentren können aus Trainingsdaten gewählt oder per Clustering bestimmt werden (z. B. k-Means). Die Gewichte w_i werden durch Lösen eines linearen Systems bestimmt, oft mit Regularisierung gegen Überanpassung. RBFs finden Anwendung in der Funktionserfassung, Oberflächenrekonstruktion, Geostatistik und kernelbasierten Lernverfahren wie Support-Vector-Maschinen. Historisch wurden RBF-Netze in den 1980er Jahren eingeführt und seither breit weiterentwickelt.