Quasikonvexität

Quasikonvexität, im Deutschen oft als Quasikonvexität bezeichnet, ist eine Eigenschaft von Funktionen, die eine Verallgemeinerung der Konvexität darstellt. Gegeben sei eine Menge C in einem Vektorraum und eine Funktion f: C → R. f ist quasi-konvex, wenn für alle x, y ∈ C und alle t ∈ [0,1] gilt: f(t x + (1−t) y) ≤ max{ f(x), f(y) }. Eine gleichwertige Formulierung lautet: Alle Unterstufenmengen Lα = { x ∈ C | f(x) ≤ α } sind konvex.

Quasikonvexität generalisiert Konvexität: Jede konvexe Funktion ist quasi-konvex, aber nicht jede quasi-konvexe Funktion ist konvex. Wichtige Eigenschaften sind unter anderem, dass die Maximumbildung zweier quasi-konvexer Funktionen wieder quasi-konvex ist und dass die Zusammensetzung mit einer nicht-abnehmenden Funktion Quasikonvexität bewahren kann. Die Summe zweier quasi-konvexer Funktionen ist im Allgemeinen nicht quasi-konvex.

Bei differenzierbaren Funktionen liefert eine gängige First-Order-Bedingung eine praktische Charakterisierung: Wenn f(y) ≥ f(x) gilt, wird oft gefordert, dass der Richtungsableitung an x in der Richtung (y−x) nicht negativ ist, d. h. ∇f(x)·(y−x) ≥ 0. Unter entsprechenden Regularitätsannahmen kann diese Bedingung als hinreichend oder notwendig dienen.

Beispiele: f(x) = ||x|| auf einem Vektorraum ist konvex und damit quasi-konvex. In einer eindimensionalen Einstellung kann eine Funktion wie f(x) = 0 für |x| ≤ 1 und f(x) = 1 außerhalb dieses Intervalls quasi-konvex, aber nicht konvex sein. Solche Beispiele zeigen, dass Quasikonvexität eine weiter gefasste Eigenschaft ist als Konvexität.

Anwendungen finden sich vor allem in der nichtlinearen Optimierung, wo lokale Minima von quasi-konvexen Funktionen oft globale Minima sind, sowie in Wirtschaftswissenschaften und Spieltheorie.