QuasiGleichverteilung

Quasi-Gleichverteilung bezeichnet in der Statistik und Zahlentheorie die Eigenschaft von Punktfolgen oder Punktmengen, die nahezu gleichverteilt über einen Raum verteilt sind, ohne notwendigerweise zufällig zu sein. Der Begriff wird vor allem im Zusammenhang mit Quasi-Monte-Carlo-Methoden verwendet, bei denen deterministische Sequenzen statt zufälliger Stichproben genutzt werden, um Integrale oder Flächeninhalte effizienter zu nähern.

Formale Vorstellung: Für eine Folge von Punkten x_n im Intervall [0,1]^d gilt, dass sie gleichverteilt modulo 1 ist, wenn der Anteil der Punkte in jedem axis-parallelen Rechteck dem Volumen des Rechtecks entspricht, in der Grenzgröße N→∞. Quasi-Gleichverteilung bedeutet, dass diese Gleichverteilungs-Eigenschaft zwar nicht exakt erfüllt wird, die Abweichung jedoch klein bleibt. Die zentrale Messgröße ist die Discrepancy, z. B. die star discrepancy D*_N, welche die größte Abweichung zwischen der empirischen Verteilung der ersten N Punkte und der idealen Gleichverteilung über alle zulässigen Boxen quantifiziert.

Low-discrepancy-Sequenzen wie Halton- oder Sobol-Sequenzen sind typische Beispiele für quasi-Gleichverteilung in mehreren Dimensionen. Sie besitzen typischerweise D*_N = O((log N)^d / N), was bedeutet, dass die Abweichung mit wachsendem N langsam sinkt.

Anwendungen finden sich vor allem in der numerischen Integration (Quasi-Monte-Carlo), in der Simulation, der Risikobewertung und der Computergraphik, wo deterministische Punktefolgen oft bessere Konvergenzen als zufällige Stichproben liefern.

Unterschied zu echter Gleichverteilung: Eine echte Gleichverteilung ist zufällig; quasi-Gleichverteilung beschreibt deterministische Konstruktionen, die nahe an der Gleichverteilung liegen; es geht um Abweichungen und Diskrepanzmessung, nicht um Zufälligkeit.