Projisoinnilla

Projisoinnilla tarkoitetaan operointia, jossa vektoriavaruudesta V siirretään alaviivaan tai alijoukkoon W siten, että tuloksena on vektori W:n sisällä. Tämä on perusidea lineaarialgebrassa ja siihen liittyvää projektio-operaatiota käytetään laajasti sekä matematiikassa että tietojenkäsittelyssä. Lineaarinen projektioperaattori P: V -> V täytyy ominaisuudestaan P^2 = P; sen kuvalla Im(P) on projektoitava alijoukko ja sen ydin Ker(P) on nollaksi käännettävien vektorien joukko.

Jos V:stä on kyseessä reaalinen R^n ja W on jokin alijoukko, ortogonaalinen projekio P_W saadaan kuten seuraavasti: P_W = A(A^T A)^{-1}A^T, kun A haluttu alijoukon pystyssä olevien vektoreiden sarakekaava on. Yksinkertainen esimerkki on projektointi vektorista x koordinaatistoon linjaan, jonka suunta on yksikkövektori u: P = uu^T, jolloin projekti x ko. linjan päähän u johtuvaksi vektoriksi. Oblique-projektiot käyttävät kahden toisiaan komplementaarin alijoukon paria, jolloin P ei välttämättä ole symmetrinen.

Sovelluksia ovat muun muassa ulottuvuuksien kaventaminen, lähimpien arvojen approksimaatio, tietokonegrafiikka (varjot ja heijastukset), signaalinkäsittely sekä rajoitetun järjestelmän ratkaisut, joissa vektorin projektoidaan kohti haluttua feasibeliä joukkoa.

Termiä käytetään suomenkielisissä matemaattisissa teksteissä sekä puhekielessä yleisesti projektioiksi tai projisoinniksi. Lisätietoja löytyy lineaarialgebran, projektioiden ja matrikkien oppikirjoista.