Projiceringsmatriser

Projiceringsmatriser är matriser som representerar linjära projektioner i ett vektorrum, vanligtvis ett euklidiskt rum. En projektion är en linjär avbildning P som uppfyller idempotens: P^2 = P. Det innebär att projiceringen av en projekterad vektor är oförändrad igen, dvs P(Pv) = Pv.

En projektion kan vara ortogonal eller oblique. Vid ortogonal projektion projicerar man längs ett komplement till delrymden W och P är då symmetrisk (P^T = P). För en allmän (oblique) projektion behöver P inte vara symmetrisk, och bilden av P motsvarar fortfarande det subrum där vektorer projiceras, medan den komplettering man projicerar längs kan vara annan än W⊥.

Förekomsten av en projektion på ett subrum W kan beskrivas med olika konstruktioner. Om kolonnerna i en matris A utgör en bas för W och A har full kolonnrank, kan projektionen på W skrivas som P = A(A^T A)^{-1} A^T. Om W har en ortonormal bas given av, t.ex. en matris Q vars kolonner är en ONB för W, så är P = Q Q^T.

Egenskaperna hos en projekteringsmatris är bland annat att dess rang är dim(W) och att dess egenvärden är 0 eller 1. Användningar finns inom least squares, där projektioner används för att hitta bästa möjliga lösningar i kolonnrummet, samt inom datorgrafik, statistisk modellering och olika numeriska metoder. Exempelvis projicerar enhetsvektorn u = (cos θ, sin θ) i R^2 på linjen spanned av u genom P = u u^T. En projektion på x‑axeln i R^2 är P = [[1,0],[0,0]].