Projektsioonide

Projektsioonide mõiste hõlmab erinevaid transformatsioone, mille käigus kujutised viiakse ühest ruumist teise või tasandile. Erinevates valdkondades tähistab projektsioon erinevaid nähtusi: lineaarprojektsioonid matemaatikas, kartograafilised ja perspektiivprojektsioonid geograafias ning arvutustehnikas ja arvutimudelites.

Lineaarne projektsioon on lineaarne transformatsioon P: V → V, milles P^2 = P. Selline transformatsioon eraldab ruumi kaheks osaks: im(P) ehk projektsiooniruumi ja ker(P). Iga vektor v saab kirjutada v = Pv + (v − Pv), kus Pv ∈ im(P) ja v − Pv ∈ ker(P). Kui V kannab sisemist toodet, võib P olla ortogonaalne projektsioon, mille puhul im(P) on subruum ja ker(P) selle ortogonaalne komplement; sellisel P on P = P ja spektri väärtused on 0 ja 1. Näide: projektsioon R^2-l x-telje suunas on maatriks [1 0; 0 0].

Perspektiivne ja ortograafiline (paralleel) projektsioon on olulised eriliigid arvutustehnikas ja arvutimudelites. Perspektiivprojektsioon kujutab 3D-ruumi punktid 2D ekraanile nii, et objekti suurus sõltub kaugusest; ortograafiline projektsioon projitseerib punkte otse, säilitades suuna kuid mitte kauguse mõju.

Maaprojektsioonid ehk kaartprojektsioonid kirjeldavad Maa pinna teisendamist tasapinnale. Igal projektsioonil on distorsioon: nurkide, kujuni või alade suuruste säilimisel peab tehtud valik tasakaalu tegema. Tuntud tüübid hõlmavad konformaalset, equal-area ja mitmesuguseid kombinatsioone; näited on Mercator, Winkel Tripel ja Peters.