Produktgeometrie

Produktgeometrie bezeichnet in der Mathematik die Untersuchung geometrischer Strukturen, die durch die kartesische Produktbildung zweier oder mehrerer Räume entstehen. Sie vereint Konzepte aus Differentialgeometrie, Metrikgeometrie, Topologie und geometrischer Gruppentheorie und dient der Analyse der Eigenschaften von Produkträumen.

Definition und Konstruktion: Gegeben zwei metrische Räume (M, d_M) und (N, d_N) erhält man das Produkt M×N mit der Produktmetrik d((x,y),(x',y')) = sqrt(d_M(x,x')^2 + d_N(y,y')^2) (oder einer äquivalenten Metrik wie d∞((x,y),(x',y')) = max{d_M(x,x'), d_N(y,y')}). In der Riemannschen Geometrie trägt das Produkt M×N die Summe der jeweiligen Metriken g = g_M ⊕ g_N und ist wiederum ein Riemannianischer Raum.

Eigenschaften: Produkträume verhalten sich in vielen Belangen wie die Faktoren. Geodätische Kurven in einem Produkt ergeben sich aus Geodätischen der Faktoren; ist jeder Faktor vollständig, ist auch das Produkt vollständig. Isometrien eines Produktraums ergeben sich als Produktionen von Isometrien der Faktoren. Die Krümmung eines Produktes hängt von den Krümmungen der Faktoren ab; Mischrichtungen zwischen den Faktor-Richtungen erzeugen charakteristische Geometrien, die sich aus der Struktur der einzelnen Faktoren ableiten.

Beispiele: R^n kann als Produkt R^k × R^{n−k} dargestellt werden; Tori T^n ergeben sich als Produkt von Kreisen S^1; weitere Beispiele sind Produktmengen von Graphen oder von Mannigfaltigkeiten mit unterschiedlichen Krümmungen.

Anwendungen: Produktgeometrie dient der Konstruktion komplexerer Räume aus einfachen Bausteinen, in der geometrischen Gruppen- und Analysis-Theorie, der Modellierung mehrparametriger Räume in Informatik und Robotik sowie in der Physik bei Spacetime- und Feldmodellen.

Verwandte Begriffe sind direkte Produkte, Produktmetrik, Produktmysterien in der Geometrie.