Primzahlentests

Primzahlentests sind Algorithmen, die dazu dienen festzustellen, ob eine gegebene natürliche Zahl eine Primzahl ist. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Primzahlentests sind fundamental in der Zahlentheorie und haben wichtige Anwendungen in der Kryptographie.

Es gibt verschiedene Arten von Primzahlentests, die sich grob in zwei Kategorien einteilen lassen: deterministische Tests und probabilistische Tests. Deterministische Tests liefern ein definitives Ergebnis: Sie beweisen zweifelsfrei, ob eine Zahl prim ist oder nicht. Ein einfaches Beispiel ist die Trial Division, bei der man versucht, die Zahl durch alle kleineren Zahlen bis zu ihrer Quadratwurzel zu teilen. Ist keine Teilung ohne Rest möglich, ist die Zahl prim. Für sehr große Zahlen ist dieser Ansatz jedoch ineffizient. Der AKS-Primzahltest ist ein deterministischer Algorithmus, der in polynomieller Zeit arbeitet, was ihn theoretisch wichtig macht, aber in der Praxis oft langsamer ist als probabilistische Methoden.

Probabilistische Primzahlentests sind in der Regel deutlich schneller, liefern aber kein absolut sicheres Ergebnis. Stattdessen geben sie eine Wahrscheinlichkeit an, dass die getestete Zahl eine Primzahl ist. Wenn ein probabilistischer Test eine Zahl als "wahrscheinlich prim" einstuft, gibt es eine sehr geringe Chance, dass es sich tatsächlich um eine zusammengesetzte Zahl handelt. Ein bekannter probabilistischer Test ist der Miller-Rabin-Test. Er wird häufig in der Praxis eingesetzt, da er sehr effizient ist und die Wahrscheinlichkeit, eine zusammengesetzte Zahl fälschlicherweise als prim einzustufen, durch wiederholte Anwendung beliebig klein gemacht werden kann. Für kryptographische Zwecke ist dies oft ausreichend.