Polynomfaktorisering

Polynomfaktorisering är processen att uttrycka ett polynom som en produkt av polynom med lägre grad, vanligtvis över en given domän såsom heltal, rationella tal, reella tal eller komplexa tal. Målet är att dela upp polynomet i faktorer som är enklare att hantera och ofta irreducerbara i den valda domänen. Olika domäner ger olika faktoriseringar: ett polynom kan vara irreducibelt över Z[x] men reducera över Q[x], R[x] eller C[x].

Enligt fundamentalteoremet om algebra kan varje polynom över komplexa tal faktoreras helt i linjära faktorer. Över reella tal består faktoriseringen av linjära faktorer och irreducibla kvadratiska polynom (om diskriminanten är negativ).

Vanliga metoder för faktorisering över heltal eller rationella tal inkluderar att ta ut största gemensamma faktor, faktorisering av kvadratiska trinomier via diskriminanten, skillnaden av två kvadrater och faktorering genom grupper. För högre grad används rationell rot-teorem och syntetisk division för att hitta och avveckla rationella rötter och reducera graden. Vid fortsatt faktorisering utnyttjas polynomdivision och gcd-algoritmer för att uppdela polynom i irreducibla faktorer över domänen.

Över reella tal kan polynom delas i linjära faktorer och irreducibla kvadratiska polynom; över komplexa tal kan varje polynom faktoriseras helt i linjära faktorer. I datoralgebra och tillämpningar används algoritmer för polynomfaktorisering som hanterar olika fält och polynomstrukturer.

Användningar inkluderar lösning av polynomiska ekvationer, förenkling av uttryck och förberedelse av partialbråksuppdelning.