Poissonstrukturen
Poissonstrukturen sind eine spezielle Art von Differentialgeometrie, die in der Mathematik und theoretischen Physik eine wichtige Rolle spielen. Sie wurden erstmals im frühen 20. Jahrhundert von Henri Poincaré untersucht und sind eng mit der Theorie der Lie-Gruppen und der Symmetrieanalyse verbunden. Eine Poissonstruktur auf einem differenzierbaren Mannigfaltigkeit \( M \) wird durch eine bilineare, antisymmetrische Abbildung \( \{\cdot, \cdot\} \) zwischen den Vektorfeldern auf \( M \) beschrieben, die die Jacobi-Identität erfüllt. Diese Abbildung wird als Poisson-Klammer bezeichnet und verallgemeinert die Kommutatorstruktur der Lie-Algebren.
Mathematisch ausgedrückt, ist eine Poissonstruktur ein Tripel \((M, \{\cdot, \cdot\}, \pi)\), wobei \(\pi\) eine nicht-degenerative 2-Tensorform
Ein zentrales Beispiel für Poissonstrukturen sind die Poisson-Mannigfaltigkeiten, die sich aus symplektischen Mannigfaltigkeiten durch die Einschränkung