Poissonmodell

Poissonmodell bezeichnet eine Familie statistischer Modelle, die auf der Poisson-Verteilung oder dem Poissonprozess basieren. Es dient der Modellierung von Zähldaten in festen Intervallen oder Zeiträumen.

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl von Ereignissen, die in einem festen Zeitraum unabhängig voneinander mit Rate λ auftreten. Die Wahrscheinlichkeiten sind P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k!, für k = 0,1,2,...; Erwartungswert und Varianz sind beide λ.

Der Poissonprozess ist ein kontinuierlicher stochastischer Prozess, bei dem in jedem Zeitraum eine Poisson-Verteilung für die Anzahl der Ereignisse besteht und verschiedene Intervalle unabhängig sind. Die mittlere Anzahl von Ereignissen in ein Intervall der Länge t ist λ t, und die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen sind exponentiell verteilt mit Rate λ.

In der Poissonregression, einer häufigen Anwendung des Poissonmodells, wird die Erwartung der Zähldaten durch eine Exponentialfunktion eines linearen Prädiktors modelliert: E[Y|X] = exp(Xβ). Die log-Link-Funktion sorgt dafür, dass die vorhergesagten Werte stets nicht-negativ sind. Die Modelle werden gewöhnlich über Maximum-Likelihood geschätzt; Expositions- oder Offsets können verwendet werden.

Der Parameter λ lässt sich durch den Stichprobenmittelwert der Zähldaten schätzen, bzw. in Regressionsmodellen durch die verknüpfte Linearkombination von Prädiktoren.

Anwendungsbeispiele umfassen Zähldaten in Epidemiologie, Verkehrsplanung, Call Centers, Genetik und Ökologie. Wichtige Annahmen sind Unabhängigkeit der Ereignisse und eine konstante Rate innerhalb des betrachteten Intervalls (Gleichverteilung der Mittelwerte). Bei Overdispersion, also Varianz größer als Erwartung, können Negative-Binomial-Modelle oder Zero-Inflation-Verfahren eingesetzt werden.