Pfadunabhängige

Pfadunabhängige bezeichnet in Mathematik und Physik die Eigenschaft, dass ein bestimmter Wert oder eine Größe nur von Start- und Endzustand abhängt, nicht vom Weg dazwischen. In der Vektoranalysis bedeutet dies gewöhnlich, dass die Linieneintegration eines Vektorfeldes zwischen zwei Punkten unabhängig von der gewählten Kurve ist.

Ein Feld ist pfadunabhängig, wenn es konservativ ist und eine Potentialfunktion φ existiert mit F = ∇φ. Dann gilt die Arbeit W = ∫ F·dr = φ(B) − φ(A), unabhängig vom Pfad. In einem einfach zusammenhängenden Gebiet ist dies äquivalent dazu, dass die Rotation von F verschwindet. Dieser Zusammenhang erklärt, wann eine Pfadunabhängigkeit gilt und wie man sie durch Existenz einer Potentialfunktion nachweist.

Anwendungsbeispiele finden sich in der Physik bei elektrostatischen und Gravitationsfeldern, die als konservativ gelten, sowie in der Thermodynamik, wo Zustandsgrößen wie Energie oder innere Wärme von Anfangs- und Endzustand abhängen, nicht von dem Verlauf dazwischen. Die Idee der Pfadunabhängigkeit dient zudem als Grundlage der Theorie der Potentialfelder und der Kurvenintegrale in der Mathematik.

Zu den Grenzen gehört, dass Felder ohne Konservativität oder mit Zyklen pfadabhängig bleiben; solche Felder besitzen in der Regel nicht die Eigenschaft, dass Arbeiten oder Änderungen allein durch Endpunkte bestimmt sind. In komplexeren Systemen kann Pfadabhängigkeit entstehen, wenn Randbedingungen oder zeitliche Abläufe das Ergebnis beeinflussen.