Perusrotaatiomatriisien

Perusrotaatiomatriisien ovat lineaarialgebrassa käytettyjä matriiseja, jotka vastaavat rotaatiota tietyssä tasossa. Nämä matriisit ovat neliömatriiseja, joiden kertoimet määräytyvät rotaation kulman ja tason mukaan. Yleisimmin perusrotaatiomatriiseja tarkastellaan kaksi- ja kolmiulotteisissa avaruuksissa.

Kahden ulottuvuuden tapauksessa perusrotaatiomatriisi, joka kiertää pistettä kulman $\theta$ verran vastapäivään x-akselin suhteen, on muotoa:

$$

\begin{pmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta \\

\sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}

$$

Tämä matriisi toimii muuntamalla pisteen $(x, y)$ uudeksi pisteeksi $(x', y')$, missä $x' = x \cos \theta - y \sin \theta$ ja $y' = x \sin \theta + y \cos \theta$.

Kolmen ulottuvuuden avaruudessa on kolme perusrotaatiomatriisia, jotka vastaavat rotaatiota kunkin koordinaattiakselin (x, y, z) suhteen. Esimerkiksi rotaatio kulman $\theta$ verran x-akselin suhteen on:

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos \theta & -\sin \theta \\

0 & \sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}

$$

Vastaavat matriisit ovat määriteltävissä y- ja z-akselien suhteen. Perusrotaatiomatriisit ovat ortogonaalisia matriiseja, eli niiden käänteismatriisi on sama kuin niiden transpoosi. Lisäksi niiden determinantti on 1. Nämä ominaisuudet varmistavat, että rotaatiomuunnos säilyttää etäisyydet ja kulmat. Perusrotaatiomatriiseilla on laaja käyttöalue esimerkiksi tietokonegrafiikassa, robotiikassa ja fysiikassa.