Perronvärden

Perronvärden är det ledande egenvärdet hos en kvadratisk matris med icke-negativa poster. Enligt Perron-Frobenius-teoremet finns det under vissa förutsättningar ett sådant värde ρ(A) som är största absolutbeloppet bland matrisens egenvärden och som tillhör en egenvektor med alla komponenter som är strikt positiva. ρ(A) kallas därför Perronvärdet eller Perron-Frobenius-värdet.

För en icke-negativ och irreducibel matris A är ρ(A) alltid positivt och enkelt, och det finns vänster och höger egenvektor som båda kan väljas att vara strikt positiva. För positiva matriser A > 0 (alla poster strikt positiva) är Perronvärdet unikt och större än modulerna hos alla andra egenvärden. Vidare är ρ(A) lika med spektrala radien av A.

Om A är en stokastisk matris är Perronvärdet vanligtvis 1. För en rad-stokastisk matris är vänster egenvektor en stationary distribution och enhetsvektorn är en höger egenvektor med egenvärde 1; för en kol-stokastisk matris är omvänt.

Redukterbara matrisers Perronvärden är inte nödvändigtvis unika och kan ha flera egenvärden med modulus lika med ρ(A); deras vänster- och höger egenvektorer behöver inte vara strikt positiva. Perronvärden används inom områden som Markov-kedjor, populationsekonomi, nätverks- och grafteori samt i sökteknik som PageRank, där den ledande egenvektorn beskriver långsiktiga beteenden eller centrala egenskaper hos systemet.