Penaltymetoder

Penaltymetoder är en grupp optimeringsmetoder som hanterar begränsningar genom att lägga till ett straffterm i målfunktionen. Genom straffet försöker man omvandla ett problem med begränsningar till ett problem utan uttryckliga begränsningar, så att standardmetoder för obunden optimering kan användas. Storleken på straffet styr hur strikt begränsningarna efterlevs; en hög straffparameter ökar sannolikheten att den optimala lösningen uppfyller alla begränsningar.

De viktigaste inriktningarna är exteriöra (yttre) straffmetoder, inre (barriär-/inre) straffmetoder och förstärkt Lagrange-metod (augmented Lagrangian). Exteriöra metoder lägger straffet på när en begränsning bryts, men kan leda till numerisk instabilitet när parametern blir stor. Inre metoder använder barriärer som gör att man kommer närmare gränsen från insidan och ofta behåller bättre stabilitet. Förstärkt Lagrange-metod kombinerar ett straffterm med uppdateringar av Lagrange‑multipler och anses ofta mer robust än rena straffmetoder.

Vanlig formulering är min f(x) under h(x) = 0 och g(x) ≤ 0. Ett vanligt straffterm är rho sum h_i(x)^2 för lika begränsningar och rho sum max(0, g_i(x))^2 för olikhetsbegränsningar; vid augmented Lagrangian används dessutom multipler och en iterativ uppdatering.

Fördelar är enkel implementering och bred tillämpning, men valet av straffparameter är kritiskt och kan påverka konvergens och numerisk kondition. Begränsningar inkluderar potentiell instabilitet vid höga straffparametrar. Användningsområden sträcker sig över teknik, industriell design, ekonomi och maskininlärning där begränsningar är centrala. Se även Lagrange-multiplikatorer, KKT-villkor, barriärmetoder och förstärkt Lagrange-metod.