Partikularlösungen

Partikularlösungen ist der Begriff aus der Theorie der Differentialgleichungen. Sie bezeichnet eine Lösung einer nichthomogenen Gleichung, die den zugehörigen Störterm oder die rechte Seite erfüllt. Im Gegensatz zur allgemeinen/Lösung der homogenen Gleichung ist die Partikularlösung spezifisch für die gegebene Rand- oder Eingabe und muss nicht eindeutig sein.

In der Praxis wird die Partikularlösung oft zusammen mit der sogenannten Homogenenlösung verwendet. Die allgemeine Lösung einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich aus der Summe der Homogenenlösung y_h, die die gleichung y''+…=0 erfüllt, und einer Partikularlösung y_p der inhomogenen Gleichung: y = y_h + y_p. Die Partikularlösung ist nicht eindeutig: Verschiedene y_p unterscheiden sich durch Lösungen der homogenen Gleichung.

Typische Methoden zu ihrer Bestimmung sind unter anderem das Verfahren der unbestimmten Koeffizienten und das Variationsverfahren. Bei linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten führt das Einsetzen eines Vermutungsansatzes (z. B. A e^{kx}, Polynom, Sinus-/Cosinus-Kombination) oft zur Lösung. Falls der Vermutungsansatz sich mit einer Lösung der Homogenenlösung überschnitten hätte, wird der Ansatz entsprechend modifiziert. Das Variationsverfahren nutzt die bekanntesten Lösungen der Homogenengleichung, um y_p systematisch zu konstruieren.

Außerhalb von ODEs finden sich ähnliche Konzepte bei inhomogenen Gleichungen und PDEs, etwa über Green-Funktionen, Faltungsoperatoren oder spezielle Anstze, die eine Partikularlösung darstellen.

Beispiel: Für y'' + 3y' + 2y = e^{2x} sucht man y_p als A e^{2x}. Einsetzen ergibt 12A e^{2x} = e^{2x}, daher A = 1/12 und y_p = (1/12) e^{2x}. Die allgemeine Lösung ist dann y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + (1/12) e^{2x}.