Faltungsoperatoren

Faltungsoperatoren sind eine Klasse linearer Operatoren, die eine Funktion f mit einer festen Kernelfunktion h falten. Im kontinuierlichen Fall definiert man (f*h)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) h(t−τ) dτ; im diskreten Fall (f*h)[n] = ∑_{k} f[k] h[n−k]. Die Kernelfunktion h wird auch als Impulsantwort eines LTI-Systems bezeichnet.

In der Funktionalanalysis werden Faltungsoperatoren oft auf L^p-Räumen betrachtet, wobei Voraussetzungen existieren, damit die Faltung wohldefiniert und stetig ist (z. B. f ∈ L^p, h ∈ L^1 oder L^p).

Interpretation: Der Faltungsoperator T_h: f ↦ f*h beschreibt ein zeitinvariantes lineares System; h repräsentiert das Impulsverhalten des Systems. Das Ausgangssignal ist das Faltungsergebnis.

Wichtige Eigenschaften: Linearität, Zeitinvarianz, Kommutativität (f*h = h*f, sofern die Faltung sinnvoll definiert ist; zum Beispiel wenn f ∈ L^p und h ∈ L^1), Assoziativität; das Einheitselement ist δ, sodass f*δ = f.

Transformations- und Recheneigenschaften: Konvolutionstheorem: die Fouriertransformation von f*h ist das Produkt der Transformierten F{f*h} = F{f} · F{h}. In diskreter Form mit DFT gilt Äquivalentes. Dadurch lassen sich Faltungsoperationen effizient mit der FFT berechnen.

Anwendungen: Signalverarbeitung (Filtern von Audiosignalen), Bildverarbeitung (2D-Faltung mit Kernel), Glätten, Schärfen, Kantenerkennung, Systemidentifikation.

Zusammenhang mit der Operatorentheorie: F_h ist linear, oft beschränkt unter passenden Bedingungen; Normen und Stabilität werden durch Ungleichungen wie Youngs Ungleichung beschrieben.