Parabelsegment

Ein Parabelsegment ist der Bereich, der durch eine Parabel und eine Gerade begrenzt wird, die die Parabel in zwei Punkten schneidet. Die Gerade bildet die Basis des Segments, die Parabel die Grenzlinie; der Bereich liegt zwischen dem Parabelbogen und der Geraden.

Der Flächeninhalt lässt sich allgemein beschreiben, wenn man die Basiskante b bestimmt (die Distanz zwischen den Schnittpunkten der Geraden mit der Parabel) und die Höhe h, die senkrechte Distanz von der Basis zur Parabel im innersten Punkt des Segments. In der üblichen Orientierung, bei der die Parabel nach oben öffnet, gilt die Fläche oft als A = 2/3 · b · h. Diese Form ist rotations- und translationsinvariant und gilt für Parabelsegmente jeder Orientierung.

Beispiel: Die Parabel y = x^2 wird durch die Gerade y = k > 0 geschnitten. Die Schnittpunkte liegen bei x = ±√k, also beträgt die Basellänge b = 2√k. Die maximale Distanz von der Geraden zur Parabel ist h = k. Die Fläche berechnet sich als A = ∫_{-√k}^{√k} (k − x^2) dx = (4/3) k√k, was mit A = (2/3) b h übereinstimmt.

Historischer Kontext: Archimedes untersuchte Parabelsegmente mit einer Methode der eingeschriebenen Dreiecke und zeigte, dass deren Flächen exakt bestimmt werden können. Das Parabelsegment gehört zu den klassischen Ergebnissen der antiken Geometrie.

Siehe auch: Parabel, Fläche, Archimedischer Beweis.