Osittaisdiferentiaaliyhtälöitä

Osittaisdiferentiaaliyhtälöt ovat matemaattisia yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattomia funktioita ja näiden funktioiden osittaisderivaattoja. Ne ovat keskeisessä roolissa monien luonnonilmiöiden ja teknisten ongelmien mallintamisessa fysiikassa, tekniikassa, biologiassa ja taloustieteessä.

Yksi tunnetuimmista osittaisdiferentiaaliyhtälöistä on lämpöyhtälö, joka kuvaa lämmön leviämistä. Toinen tärkeä yhtälö on aaltoyhtälö, joka kuvaa aaltojen, kuten äänen tai valon, etenemistä. Laplacen yhtälö ja Poissinin yhtälö liittyvät potentiaaliteoriaan ja niitä käytetään esimerkiksi sähköstaattisten kenttien ja nestevirtauksien kuvaamiseen. Myös Schrödingerin yhtälö kvanttimekaniikassa on osittaisdiferentiaaliyhtälö.

Osittaisdiferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on usein huomattavasti vaikeampaa kuin tavallisten differentiaaliyhtälöiden. Ratkaisu riippuu usein alku- ja reunaehdoista. Analyyttisiä ratkaisuja tunnetaan vain tietyille yhtälötyypeille ja yksinkertaisille geometrioille. Käytännössä yleisimpiä menetelmiä ratkaisujen löytämiseksi ovat numeeriset menetelmät, kuten äärellisten erojen menetelmä ja äärellisten elementtien menetelmä, jotka mahdollistavat yhtälöiden ratkaisemisen tietokoneiden avulla.