Ortogonalt

Ortogonalt är ett begrepp inom matematik som beskriver vinkelräthet i ett inre produktutrymme. Två vektorer u och v är ortogonala om deras inreprodukt är noll, oftast u·v = 0. I ℝ^n innebär det att summan av produkterna av motsvarande komponenter är noll. Om vektorerna dessutom har längden enhet kallas de ortonormala, och en uppsättning av vektorer som är parvis ortogonala kallas en ortogonal bas.

Gramm–Schmidt-processen används för att konstruera ortogonala (eller ortonormala) baser från en godtycklig bas. I praktiken förenklar ortogonala baser beräkningar, särskilt vid bestämning av projektioner på underrum eller lösning av minsta kvadraters problem.

En matris är ortogonal om A^T A = I. En sådan matris bevarar inreprodukt och längd, vilket innebär att ∥Ax∥ = ∥x∥ för alla x, och att A⁻¹ = A^T. Determinanten är ±1. Ortogonala matriser representerar rotationer och speglingar.

Användningar finns inom flera områden: i linjär algebra underlättar ortogonala baser beräkningar och omvandlingar; i analys används ortogonala funktioner (till exempel i Fourier-serier) som bildar ömsesidigt oberoende baser; i statistik och experimentdesign används ortogonalitet för att minska eller eliminera beroende mellan faktorer.

I geometri motsvarar ortogonalt vinkelräthet; i vardagligt språk används oftare ordet vinkelrät. Inom matematikens breda kontext gäller ortogonalitet i allmänna inre produktutrymmen utöver bara den vanliga euklidiska miljön.