Orthonormeren

Orthonormeren is het proces waarbij een verzameling vectoren wordt omgezet in een orthonormale verzameling. Dit gebeurt in een inwendig-productruimte zoals R^n of C^n, zodat de resulterende vectoren onderling orthogonal zijn en elk een lengte van één hebben. Het doel is vaak een basis te verkrijgen van dezelfde subruimte als de oorspronkelijke vectoren, maar met extra structuur die berekeningen vereenvoudigt.

De meest gebruikte methode is Gram-Schmidt. Gegeven een niet-vout vectoren v1, v2, ..., vk, begin je met e1 = v1 / ||v1||. Voor i > 1 definieer je wi = vi − sum_{j=1}^{i−1} proj_{e_j}(vi), waarbij proj_{e_j}(vi) = (vi·e_j) e_j. Als wi ≠ 0, zet dan e_i = wi / ||wi||. De verzameling {e1, e2, ..., ek} is dan orthonormaal en span(v1, ..., vk). Als een wi nul blijkt te zijn, bestaan de oorspronkelijke vectoren niet uit een volledige onafhankelijke set en kan men niet verder gaan.

Numerieke varianten bestaan om de stabiliteit te verbeteren, zoals de Modified Gram-Schmidt-algoritme en methoden op basis van Householder-reflecties, die vaak worden toegepast in de QR-decompositie. In complexe vectorruimten dient men vaak de conjugaat-transponeren te gebruiken in de inner products.

Toepassingen van orthonormaliseren liggen veelal in projecties op subruimtes, oplossingen van lineaire systemen en minste-kwadraten-problemen, en in algoritmen voor eigendecompositie en signaalverwerking. Een orthonormale toestand vereenvoudigt berekeningen doordat de inproduct tussen vectoren direct de mate van overeenstemming meet.

---