Orthonormaarinen

Orthonormaarinen (suomeksi ortonormaali) kuvaa tilan vektoreita, jotka ovat keskenään ortogonaalisia ja joiden pituus on yksi. Asetta {u1, ..., uk} sanotaan orthonormaariseksi, kun ⟨ui, uj⟩ = 0 kaikilla i ≠ j ja ⟨ui, ui⟩ = 1 kaikille i. Tämä määritelmä koskee mitä tahansa sisäkkäisyys tilaa V.

Seuraavat ominaisuudet seuraavat suoraan tästä määritelmästä. Joukko orthonormaarisia vektoreita A = [u1 ... uk] n×k -matriisina täyttää A^T A = I_k. Jos k = n ja sarakkeet muodostavat V:n basis, matriisi on ortogonaalinen (A^T A = A A^T = I). Tällöin vektorit muodostavat sekä ortogonisen että normaalin perustan.

Orthonormaarinen perusta tarkoittaa ortonormaarisen joukon, joka on myös avaruuden perusta. Tällöin jokainen x ∈ V voidaan kirjoittaa x = ∑_{i=1}^k ⟨x, ui⟩ ui, ja koeffisientit ovat sisätuloksia. Parsevalin identiteetti sanoo, että ||x||^2 = ∑_{i=1}^k ⟨x, ui⟩^2.

Gram–Schmidt -menetelmä mahdollistaa orthonormaarisen perustean rakentamisen mistä tahansa lineaarisesti riippuvasta joukosta.

Sovelluksia ovat QR-dekompositio, signaali- ja kuvankäsittely sekä erilaiset orthonormaali pohjat, kuten Fourier- ja wavelet-pohjat. Esimerkki: R^3: s standardi pohja e1, e2, e3 on orthonormaarinen.

Ero ortogonaalisuuden ja ortonormaaliuden välillä on, että ortogonaaliset vektorit ovat keskenään 0:n, mutta eivät välttämättä pituudeltaan 1; orthonormaariset ovat sekä ortogonaalisia että pituudeltaan yhdenmukaisia.

---