Orthonormaalien

Orthonormaalien joukko on vektorijoukko, jossa jokaisen jäsenen pituus on 1 ja kaikki vektorit ovat toistensa suhteen ortogonaalisia. Toisin sanoen vi · vj = 0, kun i ≠ j, ja||vi|| = 1 kaikille i. Jos joukko sisältää n vektoria ja se span tilan R^n, siitä muodostuu ortonormaali perusta tilalle.

Matriisien näkökulmasta joukkoa kutsutaan ortonormaali tai ortonormaaliksi, kun sen sarakkeet ovat ortonormaaleja vektoreita. Tällöin A^T A = I ja A A^T = I, joten matriisin kääntäminen on yksinkertaista: A^−1 = A^T.

Orthonormaalin basisin span on sama kuin alkuperäisen tilan, ja jokainen vektori x voidaan esittää yksinkertaisella projisioonilla x = ∑ (x·v_i) v_i. Koordinaatit basisvektoreille ovat a_i = x · v_i. Tämä tekee laskuista hyvin suoraviivaisia.

Ortônormaalien vektoreiden tuottaminen tapahtuu usein Gram–Schmidt-ortonomalisoinnilla. Lisäksi orthonormaalit matriisit mahdollistavat QR-dekompositioiden käytön ja least-squares -ongelmien ratkaisun helposti.

Esimerkki: R^3:n standardi perusjoukko {e1, e2, e3} on ortonormaali. Myös muunlaiset kolmiulotteiset vektorit, jotka ovat toisiltaan kohtisuoria ja yksikkömittoja, muodostavat ortonormaaleja joukkoja.

Sovelluksia ovat lineaarinen algebra, signaali- ja kuvankäsittely sekä tietokonenäkö ja robotiikka, joissa sisätulojen hyödyntäminen yksinkertaistaa laskuja.