Offsetschnittpunkte

Offsetschnittpunkte sind Schnittpunkte von Versatzkurven, die aus einer gegebenen Kurve durch einen festen Versatzabstand d erzeugt werden, oder Schnittpunkte zwischen Versatzkurven verschiedener Basiskurven bzw. unterschiedlicher Abstände. Eine Versatzkurve C_d einer Kurve C ist die Menge der Punkte, die in einer festen Normalenrichtung einen Abstand d von C entfernt liegen.

Für eine glatte Kurve γ(t) im Ebene sei n(t) der Einheitsnormalenvektor. Die Versatzkurve wird parametrisiert als γ_d(t) = γ(t) + d n(t). Versatzkurven können Singularitäten entwickeln, insbesondere Ecken oder Knickstellen, wenn der Abstand d den lokalen Krümmungsradius ρ(t) = 1/κ(t) erreicht oder überschreitet. Für d kleiner als der minimale Krümmungsradius einer konvexen Kurve ist γ_d regulär und einfach.

Offsetschnittpunkte entstehen in zwei Hauptfällen: 1) Selbstschnittpunkte der Versatzkurve, d.h. γ_d(t1) = γ_d(t2) mit t1 ≠ t2; 2) Schnittpunkte von Versatzkurven zu verschiedenen Basiskurven oder zu unterschiedlichen Abständen, z.B. γ_d1(t1) = γ_d2(t2). Praktisch bedeutet dies, dass zwei Punkte aus Distanzverschiebungen denselben Ort im Raum einnehmen. Lösen dieser Gleichungen erfordert numerische Verfahren.

Berechnung und Anwendungen: Das Konzept hängt eng mit Minkowski-Summen und Parallelkurven zusammen. In CAD/CAM und Werkzeugpfadplanung sind Offsetschnittpunkte relevant für das Vermeiden von Kollisionen und das korrekte Führen von Fräs- oder Schneidpfaden. Typische Beispiele kommen aus der Entwicklung von Kontur- und Bahnlinien.

Siehe auch: Offset-Kurve, Parallelkurve, Evolute, Medialachse, Minkowski-Summe.