OberflächenAbleitungen

Oberflächenableitungen bezeichnen Ableitungen von Funktionen oder Vektorfeldern, die auf einer Fläche S im dreidimensionalen Raum definiert sind. Sie unterscheiden intrinsische Ableitungen, die nur von der Geometrie der Fläche abhängen, und extrinsische Ableitungen, die auf die umgebende Euklidische Struktur Bezug nehmen.

Gegeben eine glatte Fläche S mit einer Parametrisierung X(u,v) : U ⊂ R^2 → S ⊂ R^3. Am Punkt p ∈ S spannen die partiellen Ableitungen X_u(p) und X_v(p) den Tangentialraum T_pS auf. Der Einheitsnormalenvektor n_p wird als n_p = (X_u × X_v)/|X_u × X_v| definiert.

Für eine Skalarfunktion f: S → R erhält man den Oberflächengradienten als den Tangentialteil des gewöhnlichen Gradienten der von f abgeleiteten Erweiterung F in eine Nachbarschaft von S. In kompakter Form: ∇_S f ist der Projektion von ∇F auf den Tangentialraum, d. h. ∇_S f = ∇F − (n · ∇F) n. In Lokalkoordinationen lässt sich der Oberflächengradient auch über die induzierte Metrik ausdrücken.

Die Oberflächen-Divergenz eines Vektorfeldes V auf S wird als Div_S V definiert und entspricht dem Spurenwert des tangentialen Ableitungsoperators. Der Laplace-Beltrami-Operator Δ_S ist Δ_S f = Div_S(∇_S f) und dient als intrinsische Analogie zum euklidischen Laplacian.

Intrinsisch betrachtet entsteht die Ableitung durch die Levi-Civita-Verbindung der induzierten Metrik; extrinsisch erhält man sie durch Projektion der euklidischen Ableitung, wie in den Weingarten-Gleichungen beschrieben.

Anwendungen umfassen Form- und Flächenanalyse, Geometrische Optimierung, Computer Graphics sowie die Untersuchung von Kurven auf Oberflächen.