Noncommutativiteit

Noncommutativiteit is de eigenschap dat de volgorde van twee handelingen ertoe doet. In een commutatieve structuur komen de resultaten van A gevolgd door B en van B gevolgd door A overeen (AB = BA). In veel algebraïsche systemen geldt dit echter niet.

Een eenvoudige illustratie komt uit de lineaire algebra met matrices. Neem A en B twee 2x2-matrices, bijvoorbeeld A = [[0, 1], [0, 0]] en B = [[0, 0], [1, 0]]. Dan is AB = [[1, 0], [0, 0]] en BA = [[0, 0], [0, 1]], dus AB ≠ BA.

In de wiskunde en de theoretische natuurkunde wordt noncommutativiteit vaak bestudeerd via het commutator [A, B] = AB − BA. Als [A, B] niet nul is, spreken we van noncommutativiteit tussen A en B. Veel algebras zijn niet commutatief, zoals matrixalgebras en operatoralgebras.

Historisch en conceptueel speelt noncommutativiteit een centrale rol. Het concept kreeg vorm in de 19e eeuw met de ontwikkeling van matrixalgebra, onder andere door Arthur Cayley. In de 20e eeuw werd het kernachtig zichtbaar in de kwantummechanica, waar waarnemers als positie en momentum doorgaans niet commuteren; de relatie [x, p] = iħ illustreert dit fundamentele principe.

Breder gezien heeft men het begrip uitgebreid naar nietcommutatieve geometrie, waarin ruimten worden bestudeerd via hun niet-commuterende coördinatenalgebras. Daarnaast komen niet-commutatieve structuren voor in de theorie van groepen (niet-abëlische groepen) en in de studie van quantum groups.