Neliömatriisin

Neliömatriisi on matriisi, jonka rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama. Tällöin sen koko merkitään n×n, ja se on määritelty koordinaatistossa, jossa n on kokonaisluku. Merkitään A ∈ F^{n×n}, missä F on kenttä (esim. reaaliluvut R tai kompleksiset luvut C). Alkio a_{ij} sijaitsee rivillä i ja sarakkeessa j, i ja j = 1, ..., n.

Keskeiset käsitteet ja ominaisuudet: Determinantti det(A) on määritelty vain neliömatriiseille. Jos det(A) ≠ 0, matriisi on käännettävissä ja sillä on käänteismatriisi A^{-1}, jolloin AA^{-1} = A^{-1}A = I_n. Transpoosi A^T on myös neliömatriisi; jos A^T = A, matriisi on symmetrinen. Ortogonaalisuus (reaali) tai unitary-ominaisuus (komplekssissa) toteutuvat, kun A^T A = I tai A^* A = I. Neliömatriiseilla on ominaisarvoja ja ominaisvektoreita, ratkaistaan det(A − λI) = 0:n avulla. Avulla Av = λv määrittää ominaisvektoreita ja -arvoja.

Dekompositiot ja laskutoimitukset: Neliömatriiseja voidaan hajottaa LU-, QR- tai SVD-dekompositionioihin, riippuen sovelluksesta ja ominaisuuksista. Näillä hajotelmilla hallitaan ratkaisuja lineaarisille järjestelmille, muunnoksia ja analogioita koordinaatistoon.

Käyttökohteet: Lineaariset järjestelmät Ax = b, muunnokset koordinaatistoissa, tietokonegrafiikka, differentiaaliyhtälöt sekä dynamical systems. Neliömatriisit ovat keskeisiä sekä teoreettisissa että soveltavissa lineaarialgebran tehtävissä.