Neliömatriiseja

Neliömatriisi on matriisi, jonka rivien määrä on yhtä suuri kuin sarakkeiden määrä. Tämän vuoksi sen koko on n×n ja sitä kutsutaan neliömatriisiksi. Neliömatriiseja voi esiintyä reaali- tai kompleksilukujen täyttämänä. Esimerkkeinä ovat 2×2-matriisi A = [ [1, 2], [3, 4] ] ja 3×3-matriisi B = [ [5, 0, -1], [2, 3, 4], [0, 1, 2] ].

Neliömatriiseja käytetään laajalti lineaarialgebrassa, koska ne kuvaavat lineaarisia muunnoksia, joiden vaikuttava tila on sama kuin vektoritason alusta. Perusoperaatioihin kuuluvat yhteen- ja kertolasku sekä transponointi. Transpoosi A^T saadaan vaihtamalla rivit ja sarakkeet.

Determinantti det(A) on n×n-matriisin luku, joka kertoo muun muassa muunnoksen tilavuusmuutoksen. Jos det(A) ≠ 0, matriisi on käännettävä ja sillä on käänteismatriisi A^{-1}, jolle pätee AA^{-1} = I, missä I on identiteettimatriisi.

Ominaisarvot ja ominaisvektorit määräävät, miten matriisi vaikuttaa vektoreihin. Av = λv ratkaistaan yhtälöstä det(A − λI) = 0. Tästä saadaan ominaisarvot λ_i ja vastaavat vektorit v_i. Reaali- ja symmetrisille matriiseille ominaisarvot ovat usein realisia, ja matriisi voidaan diago­naalisoida ortogonaalisilla ominaisvektoreilla (spectral theorem).

Jälki tr(A) on diagonaaliosien summa ja vastaa ominaisarvojen summan suuruutta; determinantti det(A) on ominaisarvojen yhteen- tai tuplatuotto riippuen matriisista. Neliömatriiseja tarkastellaan usein näiden ominaisuuksien kautta.

Sovellukset kattavat lineaariset järjestelmät, lineaariset muunnokset, tilavuus- ja isometria-analyysin sekä tietokonegrafiikan ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen yhteyksiä.