Neliöintegroidut

Neliöintegroidut on matemaattinen termi, joka viittaa funktioihin, joiden neliön integraali on äärellinen. Tarkemmin sanottuna funktio f on neliöintegroitu, jos integraali sen itseisarvon neliöstä määritellyllä välillä on äärellinen. Tämä käsite on keskeinen useilla matematiikan ja fysiikan aloilla, erityisesti funktionaalianalyysissä ja kvanttimekaniikassa.

Neliöintegroituvuuden määritelmä riippuu integraalin tyypistä. Riemann-integraalin tapauksessa funktio f on neliöintegroitu välillä [a, b], jos integraali $\int_{a}^{b} |f(x)|^2 dx$ on äärellinen. Lebesguen integraalin tapauksessa, joka on yleisempi, funktio f on neliöintegroitu joukolla E, jos integraali $\int_{E} |f(x)|^2 d\mu(x)$ on äärellinen, missä $\mu$ on mitta.

Funktioiden joukko, jotka ovat neliöintegroituvia jollakin annetulla välillä tai joukolla, muodostaa neliöintegroituvan avaruuden. Nämä avaruudet ovat Hilbertin avaruuksia, jotka ovat täydellisiä sisätulonormin suhteen. Tämä tekee niistä erittäin hyödyllisiä matemaattisessa analyysissä, koska ne tarjoavat rakenteen, jossa voidaan kehittää monia tärkeitä teorioita.

Esimerkkejä neliöintegroituvista funktioista ovat monet yleiset funktiot, kuten polynomit äärellisellä välillä, jatkuvat funktiot äärellisellä suljetulla välillä ja monet trigonometriset funktiot. Toisaalta funktiot, jotka kasvavat liian nopeasti tai ovat singulariteetteja, joissa integraali hajaantuu, eivät ole neliöintegroituvia. Neliöintegroituvuuden käsite on perustavanlaatuinen monissa kvanttimekaniikan ongelmissa, joissa aaltofunktioiden on oltava neliöintegroituvia, jotta ne voidaan tulkita todennäköisyysjakaumina.