Neliöintegroituvuuden

Neliöintegroituvuus viittaa matemaattiseen ominaisuuteen, joka liittyy funktioiden tai mittojen käyttäytymiseen integraalien suhteen. Tarkemmin sanottuna funktio on neliöintegroituva, jos sen neliön integraali määritellyllä alueella on äärellinen. Tämä käsite on keskeinen funktionaalianalyysissä ja kvanttimekaniikassa.

Esimerkiksi reaaliakselilla jatkuva funktio $f(x)$ on neliöintegroituva välillä $[a, b]$, jos $\int_a^b [f(x)]^2 dx < \infty$. Tämä ominaisuus takaa, että funktio ei kasva liian nopeasti, jotta sen neliö voidaan integroida. Neliöintegroituvuus on tärkeää, koska se mahdollistaa funktioiden muodostamisen Hilbertin avaruuksiin. Hilbertin avaruudet ovat vektoriavaruuksia, joissa on sisätulo, ja ne ovat keskeisiä monien matemaattisten ja fysikaalisten ongelmien ratkaisemisessa.

Kvanttimekaniikassa aaltofunktio $\psi(\mathbf{r}, t)$ edustaa hiukkasen tilaa, ja sen neliön itseisarvon integraali hiukkasen olemassaolon todennäköisyys koko avaruudessa on aina yksi. Tämä tarkoittaa, että aaltofunktioiden tulee olla neliöintegroituvia. Jos aaltofunktio ei ole neliöintegroituva, kyseessä ei ole fysikaalisesti mielekäs tila. Käsite ilmenee myös Fourier-analyysissä ja signaalinkäsittelyssä, missä se liittyy signaalin energiaksi kutsuttuun määrään.