Riemannintegraalin

Riemannin integraali on tapa määrittää funktion f yli suljetun välin [a,b] arvo. Olkoon f:[a,b]→R rajoitettu. Hajonta P = {a = x0 < x1 < … < xn = b} ja pistet t_i ∈ [x_{i-1}, x_i]. Riemannin summa S(P,f,t) = ∑_{i=1}^n f(t_i)(x_i − x_{i-1}). Kun ||P|| = max_i (x_i − x_{i-1}) → 0 ja kaikkien mahdollisten t_i-valintojen raja on sama, f on Riemann-integraali ja ∫_a^b f(x) dx = lim_{||P||→0} S(P,f,t).

Useimmat tavallisesti tutkittavat funktiot ovat Riemann-integraaleja. Esimerkiksi, jos f on jatkuva [a,b], niin f on Riemann-integraali. Yleensä riittää, että f on rajoitettu ja sen epäjatkuvuuksien joukko on mitto nolla (Lebesgue-criterion). Esimerkki: Dirichletin funktio f(x)=1, jos x on rationaalinen, ja f(x)=0, jos x on irrational, ei ole Riemann-integraali [0,1].

Fundamentalisen laskun lauseen mukaan, jos F on [a,b] f:n antiderivaatta (F' = f), niin ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Tämä yhteys pätee erityisesti jatkuville funktioille.

Riemann-integraali on perusta analyyttiselle integraatiolle, mutta se on Lebesgue-integraalia suppeampi käsite. Lisäksi voidaan käsitellä epäsäännöllisiä tai rajoitettuja tapauksia epäjatkuvuuden vuoksi määriteltävällä improper Riemann-integraalilla.