Negatievebinomiale

Negatievebinomiale, of negatieve binomiale verdeling, is een discrete kansverdeling die het aantal mislukte pogingen of het aantal gebeurtenissen telt voordat een bepaald aantal successen is bereikt in herhaalde Bernoulli-experimenten met succeskans p.

Er bestaan twee gangbare parameterisaties. In de eerste tellen we het aantal mislukkingen (k) voordat we r successen hebben behaald. Voor k = 0,1,2,... geldt de kansmassa functie P(X = k) = C(k + r − 1, k) (1 − p)^k p^r, met r > 0 en 0 < p < 1. In de tweede parameterisatie tellen we het aantal pogingen totdat de rde succes optreedt. Dan is P(T = n) = C(n − 1, r − 1) p^r (1 − p)^{n − r} voor n = r, r+1, ... .

De twee vormen zijn nauw verwant en met r als positieve reële parameter kan de verdeling ook via gamma-functies worden gedefinieerd. Een speciale case is de geometrische verdeling wanneer r = 1. De negatieve binomiale verdeling verschijnt onder meer bij tellingen van aantallen mislukkingen voordat een doel wordt bereikt, bij overgespecificeerde tellingen in experimenten met terugtrekking na mislukkingen en in modelleringen van overgedispereerde teldata.

Verwachte waarde en variantie hangen af van de gekozen parameterisatie. Voor de eerste parameterisatie geldt E[X] = r (1 − p) / p en Var(X) = r (1 − p) / p^2. Voor de tweede parameterisatie geldt E[T] = r / p en Var(T) = r (1 − p) / p^2. De verdeling wordt vaak toegepast bij data met meer variatie dan de Poisson-verdeling kan dragen.

---